Funciones logarítmicas.

Al estudiar las funciones se expresó que “una función es invertible si y solo si, es inyectiva” dado que la función exponencial \(f\left(x\right)=a^x\) es inyectiva debe existir otra función la cual sea la inversa de \(f\left(x\right)=a^x,\) dicha función es la función logarítmica. Por tanto, se define la función logarítmica con base \(a>0\) y \(a\neq1\) como: $$y=\log_a{x}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \ a^y=x.$$ Lo anterior expresa que si el logaritmo de un número \(x\) en el sistema de base \(a\) es \(y\) se cumple que \(a\) elevado a la \(y\) es igual a \(x.\) por ejemplo:
\(1.~~\log_2{8}=3\Longrightarrow2^3=\)
\(2.~~\log_5{625}=4\Longrightarrow5^4=625\)
\(3.~~\log_{10}{1\ 000\ 000}=6\Longrightarrow{10}^6=1\ 000\ 000\)
\(4.~~\log_3{81}=4\ \ \ \ \Longrightarrow\ 3^4=81\)

Dominio y rango de la función logarítmica.

Para cualquier valor \(a>0\) no existe un número real \(y\) para el cual \(a^y\) devuelva un número negativo y dado que, $$y=\log_a{x} \Longleftrightarrow a^y=x$$ entonces \(x\) es no negativa (ni cero), así que \(x\geq0\) y el dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos. $$ dom f(x)=\{x|x \in \mathbb{R} \wedge x\geq 0~~\}~~~ \mathrm{es~decir}~ \mathbb{R}^+$$

El rango (codominio o dominio de imagenes) de las funciones logaritmicas es el conjunto de los números reales, ya que al evaluar un logaritmo en los reales, se puede encontrar según sea el valor de la base y el número dado cualquier número real, sea positivo o negativo.
La siguiente tabla muestra ejemplos de funciones que son escritas tanto en su forma exponencial como en su forma logarítmica para su mejor comprensión. $$\begin{array}{l l l |l} ~~~~\mathrm{exponencial} &~~~~\mathrm{logaritmica}\\ \hline ~~~~a^x=y & ~~~~\log_a{y}=x \\ \hline ~~~~5^4=625 & ~~~~\log_5{625}=4\\ \hline ~~~~{27}^\frac{1}{3}=3 & ~~~~\log_{27}{3}=\frac{1}{3}\\ \hline ~~~~{10}^{-5}=0.00001 &~~~~ \log_{10}{0.00001}=-5\\ \hline \end{array}$$ Características o propiedades de la función logarítmica.

1. Es inyectiva, por ser la inversa de otra función (la función exponencial).
2. Su dominio es el conjunto de los números reales positivos \(\mathbb{R}^+\), esto es \(\left(0,\ \infty\right)\).
3. Su rango o codominio es el conjunto de los números reales \(\mathbb{R},\) esto es \(\left(-\infty,\ \infty\right).\)
4. Su gráfica interseca el eje de abscisas (eje \(x\)) en el punto \(\left(1,\ 0\right).\) No posee ninguna intersección con el eje \(y\) (en su forma original) ya que éste es una asíntota vertical de la gráfica.
5.La función es creciente para \(a>1\) y decreciente para \(0< a< 1.\) Lo que significa que para \(a>1\) su gráfica se mueve desde la izquierda hacia la derecha y para \(0 < a< 1\) desde la derecha hacia la izquierda sin tocar en ambos casos el eje \(y\) por ser asíntota vertical.
6. Es continua en todo su dominio, esto es en el intervalo \(\left(0,\ \infty\right).\)

La función \(f\left(x\right)=e^x\) es la función exponencial natural y dado que es inyectiva, tiene inversa, esta inversa es la función logaritmo natural.
Si en la función logarítmica \(y=\log_a{x}\) la base \(a=10\) estos reciben el nombre de logaritmos comunes o bulgares, y el subíndice \(10\) no se escribe, es decir \(y=\log_{10}{x}=\log{x},\)
Si la base \(a=e\) reciben el nombre de logaritmos naturales y se escriben como \(\log_e{x}=\ln{x}\) lo cual se lee como “logaritmo natural de \(x\)”. De donde se afirma que $$y=\ln{x}\ \Longleftrightarrow\ e^y=x$$

\begin{array}{l l} \log_a{x}=n\Longleftrightarrow a^n=x & {\rm Definición ~de~ logaritmo.}\\ \log_a{1}=0& {\rm Logaritmo~ de~ la~ unidad~ para ~cualquier~ base.}\\ \log_a{a}=1& {\rm Logaritmo~ de~ la~ base.}\\ \log_a{-x}=\mathrm{no~ existe~ en} ~\mathbb{R}&\\ \log_a{\left(xy\right)}=\log_a{x}+\log_a{y}& {\rm Logaritmo~ de ~un~ producto.}\\ \log_a{\left(\frac{x}{y}\right)}=\log_a{x}-\log_a{y}&{\rm Logaritmo\ de\ un\ cociente.}\\ \log_a{x^n}=n\log_a{x}& {\rm Logaritmo ~de~ una~ potencia.}\\ \log_a{x}=\frac{\log_n{x}}{\log_n{a}} &{\rm Propiedad~ de~ cambio~ de~ base.}\\ \log_e{x}=\ln{x}& {\rm Definición~ de~ logaritmo~ natural.}\end{array}

Nota: Recuerde que la base \(a\) puede tomar el valor \(e\) por tanto, todas las propiedades de los logaritmos se cumplen para los logaritmos naturales. Además tenga cuidado al trabajar con los logaritmos, dos errores comunes que comenten los estudiantes es pensar que las expresiones, \begin{align} \textcolor{#ff0080}{1.}&~~ \log_n{\left(u+v\right)}=\log_n{u}+\log_n{v}\\ \textcolor{#ff0080}{2.}&~~ \frac{\log_n{u}}{\log_n{v}}=\log_n{x}-\log_n{y} \end{align} son correctas, siempre se debe de tener pendiente que, \begin{align} &\textcolor{#ff0080}{\log_b{\left(x+y\right)}\neq\log_b{x}+\log_b{y}}\\ &\textcolor{#ff0080}{ \frac{\log_n{x}}{\log_n{y}} \neq\log_n{x}-\log_n{y}} \end{align} Las expresiones anteriores son incorrectas ya que no hay manera en la que se pueda reformular. Se debe procurar no caer también en este error.

Ejemplo 1. Resolver las siguientes ecuaciones exponeciales. \begin{array}1 1.~~5^{x-2}=1~~~&3.~~\left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x-2}}=0\\ 2.~~e^{5x-2}=30&~~~4.~~\left(\log{x}\right)^2+\log{x}=2 \end{array} Solución 1:
\(\log{5^{x-2}}=\log{1}~~~\) Tomando logaritmos en ambos miembros.
\(\left(x\ -\ 2\right)\log{5}=\log{1}~~~~\) Por ser \(\log{u^n}= n\log{u}\)
\(\left(x-2\right) \log{5}=0~~~\) Por ser \(\log{1}=0\)
\(x-2=0~~~\) Dividiendo entre \(\log{5}\) ambos miembros
\(x=2~~~~~~\) Restando dos en ambos miembros.
Comprobando:
\(5^{2-2}=1\Longleftrightarrow5^0=1\)
Esta ecuación pudo haberse resulto más fácil, si se recuerda la propiedad de los exponentes \(x^0=1 \forall \ x:x \ \in\ \mathbb{R}\) de donde se puede proceder como sigue:
$$5^{x-2}=1\Longrightarrow5^{x-2}=5^0\rightarrow x-2=0\leftrightarrow x=2$$ Solución 2.
\(~~ e^{5x-2}=30\).
\(\ln{e^{5x-2}}=\ln{30}\ \ \ \ \ \ \ \) Tomando \(\ln\) en ambos miembros.
\(\left(5x-2\right)\ln{e}=\ln{30}\) Logaritmo de una potencia.
\(\left(5x-2\right)\ln{e}=\ln{30}\ \ \ \ln{e}=1\) Por la propiedad \(\log_b{b}=1\)
\(x=\frac{\ln{30}+2}{5}~~~~\) Despejando \(x\)
$$\mathrm{Solución~3.}~~\left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0$$ \(e^{2x^2}-e^{-\left(5x+3\right)}=0~~~~~~~\) Por ser \(1/e^u=e^{-u}\)
\(e^{2x^2}-e^{-5x-3}=0~~~~~~~~~\) Realizando operaciones.
\(e^{2x^2}=e^{-5x-3}~~~~~~~~~~~~~~~~\) Sumando \(e^{-5x-3}\) en ambos miembros.
\(2x^2=-5x-3~~~~~~~~\) Potencias iguales, de igual base, exponentes iguales.
\(2x^2+5x+3=0~~~~~~~~~\) Igualando a cero.
\(\left(x+1\right)\left(2x+3\right)=0~~~~\) Factorizando
$$\left\{\begin{array}1x+1=0\Longrightarrow x=-1\\2x+3=0 \Longrightarrow x=-3/2\end{array}\right.~~~~~ \mathrm{resolviendo~los~factores}$$

Comprobando los resultados.
Si \(x=-1\) la ecuación \(\left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0\) se transforma en:
$$\left(e^2\right)^{\left(-1\right)^2}-\frac{1}{e^{5\left(-1\right)+3}}=0\Longrightarrow e^2-\frac{1}{e^{-2}}=0\Longleftrightarrow e^2-e^2=0.$$ Que es verdadero y por tanto, \(x=-1\) es solución.
$$\mathrm{Si}~~x=-\frac{3}{2}~~\mathrm{la~ ecuación}~ \left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0$$ Se transforma en: $$e^{\frac92}-e^{\frac92} = 0$$ lo cual verdadero y por tanto \(x=-3/2\) también es solución.

Ejemplo 2.Resolver la ecuación \(135\left(2^{x+3}\right)=320\left(3^x\right)\)

Solución:
\(5\left(3^3\right)2^{x+3}=5(2^6)\left(3^{x-3}\right)~~~~~~~~~~\) Factorizando.
\(2^{x-3}=\left(3^{x-3}\right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\) Simplificando y reescribiendo.
\((x-3)\ln{2}=(x-3)\ln{3}~~~~~~~~~\) Tomando logaritmos.
\(\left(x-3\right)\ln{2}-\left(x-3\right)\ln{3}=0~~\) Igualando a cero.
\((x-3)(\ln{2}-\ln{3})=0~~~~~~~~~~~~~\) Factorizando.
\(x-3=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\) Dividiendo por \(\ln{2}-\ln{3}\)
\(x=3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\) Despejando \(x\).

Las ecuaciones logarítmicas son ecuaciones en la cual la variable está sujeta a uno o más logaritmos, como por ejemplo: $$\log_2{x^2}+\log_2{2^3}=\log_2{x^3}+\log_2{\frac{1}{32}}.$$ Resolver una ecuación logarítmica es encontrar el valor o los valores que hacen que dicha ecuación sea verdadera. Para resolver una ecuación logarítmica es necesario conocer las propiedades o leyes que cumplen los logaritmos, los cuales se presentan a continuación.

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