Funciones logarítmicas.
Al estudiar las funciones se expresó que “una función es invertible si y solo si, es inyectiva” dado que la función exponencial \(y=a^x\) es inyectiva debe existir otra función la cual sea su la inversa de, dicha función es la función logarítmica, por lo que, se define la función logarítmica con base \(a>0\) y \(a\neq1\) como:
$$y=\log_a{x}\ \Longleftrightarrow\ a^y=x.$$
Lo anterior expresa que si el logaritmo de un número \(x\) en el sistema de base \(a\) es \(y\) se cumple que \(a\) elevado a la \(y\) es igual a \(x.\) por ejemplo:
\(1.~~\log_2{8}=3\Longrightarrow2^3=8\)
\(2.~~\log_5{625}=4\Longrightarrow5^4=625\)
\(3.~~\log_{10}{1\ 000\ 000}=6\Longrightarrow{10}^6=1\ 000\ 000\)
\(4.~~\log_3{81}=4\ \ \ \ \Longrightarrow\ 3^4=81\)
Dominio y rango de la función logarítmica.
Como la función \(a^x\) se define para cualquier valor \(a\in\mathbb{R^+}|a\ne1\) entonces para cualquier valor \(x|x\in\mathbb{R}\) la función \(a^x\) devuelve un número positivo, y dado que la función logaritmica es la inversa de la exponencial, esta toma las salidas de la exponenical (cantidades positivas) como entradas, así que el domininio de \(y=\log_a{x}\) está dado por \(x|x\in\mathbb{R}\) esto es, en los reales no existe el logaritmo de un número negativo, ya que en \(\mathbb{R}\) la función logaritmo solo existe para valores positivos.
$$ dom f(x)=\{x \in \mathbb{R^+}\}$$
El rango (codominio o dominio de imagenes) de las funciones logaritmicas es el conjunto de los números reales, ya que al evaluar un logaritmo en los reales, se puede encontrar según sea el valor de la base y el número dado cualquier número real, sea positivo o negativo.
La siguiente tabla muestra ejemplos de funciones que son escritas tanto en su forma exponencial como en su forma logarítmica para su mejor comprensión.
$$\begin{array}{l l l |l}
~~~~\mathrm{exponencial} &~~~~\mathrm{logaritmica}\\
\hline ~~~~a^x=y & ~~~~\log_a{y}=x \\
\hline ~~~~5^4=625 & ~~~~\log_5{625}=4\\
\hline ~~~~{27}^\frac{1}{3}=3 & ~~~~\log_{27}{3}=\frac{1}{3}\\
\hline ~~~~{10}^{-5}=0.00001 &~~~~ \log_{10}{0.00001}=-5\\
\hline
\end{array}$$
Características o propiedades de la función logarítmica.
1. Es inyectiva, por ser la inversa de otra función (la función exponencial).
2. Su dominio es el conjunto de los números reales positivos \(\mathbb{R}^+\), esto es \(\left(0,\ \infty\right)\).
3. Su rango o codominio es el conjunto de los números reales \(\mathbb{R},\) esto es \(\left(-\infty,\ \infty\right).\)
4. Su gráfica interseca el eje de abscisas (eje \(x\)) en el punto \(\left(1,\ 0\right).\) No posee ninguna intersección con el eje \(y\) (en su forma original) ya que éste es una asíntota vertical de la gráfica.
5.La función es creciente para \(a>1\) y decreciente para \(0< a< 1.\) Lo que significa que para \(a>1\) su gráfica se mueve desde la izquierda hacia la derecha y para \(0 < a< 1\) desde la derecha hacia la izquierda sin tocar en ambos casos el eje \(y\) por ser asíntota vertical.
6. Es continua en todo su dominio, esto es en el intervalo \(\left(0,\ \infty\right).\)
Función logaritmo natural.
Si en la expresión \(\log_{a}{x}=n,\) la base \(a=10\) estos reciben el nombre de logaritmos comunes o bulgares, el subíndice \(10\) no se escribe, de donde la expresión toma la forma $$\log_{10}{n}=\log{n}$$
Si en la expresión logarítmica \(\log_a{x}\) la base \(a=e\) la expresión se transforma en, \(\log_e{x}=\ln{x}\) la cual
recibe el nombre de logaritmos naturales. y se lee "loratimo natural de equis". Al analizar la función exponencial natural \(f\left(x\right)=e^x\) se observa que es inyectiva, por lo cual tiene inversa, esta inversa es la función logaritmo natural, denotada como
$$y=\ln{x}$$
lo cual se lee "ye igual al logaritmo natural de equis". De donde,
$$\ln{x}=y\ \Longleftrightarrow\ e^y=x$$
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Propiedades de los logaritmos.
Al trabajar con logaritmos (sin importar la base) se consideran las siguientes propiedades.
Propiedades de los logaritmos.
\begin{array}{l l} \log_a{x}=n\Longleftrightarrow a^n=x & {\rm Definición ~de~ logaritmo.}\\ \log_a{1}=0& {\rm Logaritmo~ de~ la~ unidad~ para ~cualquier~ base.}\\ \log_a{a}=1& {\rm Logaritmo~ de~ la~ base.}\\ \log_a{-x}=\mathrm{no~ existe~ en} ~\mathbb{R}&\\ \log_a{\left(xy\right)}=\log_a{x}+\log_a{y}& {\rm Logaritmo~ de ~un~ producto.}\\ \log_a{\left(\frac{x}{y}\right)}=\log_a{x}-\log_a{y}&{\rm Logaritmo\ de\ un\ cociente.}\\ \log_a{x^n}=n\log_a{x}& {\rm Logaritmo ~de~ una~ potencia.}\\ \log_a{x}=\frac{\log_n{x}}{\log_n{a}} &{\rm Propiedad~ de~ cambio~ de~ base.}\\ \log_e{x}=\ln{x}& {\rm Definición~ de~ logaritmo~ natural.}\end{array}
Nota: Recuerde que la base \(a\) puede tomar el valor \(e\) por tanto, todas las propiedades de los logaritmos se cumplen para los logaritmos naturales. Además tenga cuidado al trabajar con los logaritmos, dos errores comunes que comenten los estudiantes es pensar que las expresiones, \begin{align} \textcolor{#ff0080}{1.}&~~ \log_n{\left(u+v\right)}=\log_n{u}+\log_n{v}\\ \textcolor{#ff0080}{2.}&~~ \frac{\log_n{u}}{\log_n{v}}=\log_n{x}-\log_n{y} \end{align} son correctas, siempre se debe de tener pendiente que, \begin{align} &\textcolor{#ff0080}{\log_b{\left(x+y\right)}\neq\log_b{x}+\log_b{y}}\\ &\textcolor{#ff0080}{ \frac{\log_n{x}}{\log_n{y}} \neq\log_n{x}-\log_n{y}} \end{align} Las expresiones anteriores son incorrectas ya que no hay manera en la que se pueda reformular. Se debe procurar no caer también en este error.
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Ecuaciones logarítmicas.
Las ecuaciones logarítmicas son ecuaciones en la cual la variable está sujeta a uno o más logaritmos, como por ejemplo: $$a.~\begin{array}{l}\log_3{x}=\log_5{125}~~~~&b.~\log_2{x^3}+\log_2{\frac{1}{32}}=\log_2{x^2}+\log_2{2^3}\end{array}$$
Algunas veces se pueden tener ecuaciones que sean una combinación de ecuaciones logaritmicas y expononenciales como
$$e^{\ln{x}}=7$$
Resolver una ecuación logarítmica es encontrar el valor o los valores que hacen que dicha ecuación sea verdadera. Para resolver una ecuación logarítmica es necesario conocer las propiedades o leyes que cumplen los logaritmos al junto de las propiedades o leyes de los exponentes, por lo cual se deben releer estos temas para un mejor y más agíl analisis.
Por lo general al resolver una ecuación logaritmica se obsevan las propiedades logaritmicas y/o exponenciales invololucradas para luego intentar escribir la expresión como un único logaritmo o realizar una sustitución adecuada, la cual transforma la ecuación en una expresión algebraica para asi dar con la solución.
Así por ejemplo para resolver las ecuaciones anteriores se procede como sigue.
Para la ecuación a.
\begin{align}
&\log_3{x}=\log_5{125}~~~~~~~~~{\rm Ecuación~dada}\\
&\log_3{x}=\frac{\log{125}}{\log{5}}~~~~~~~~{\rm Cambio~de~base~} \log_a{x}=\frac{\log{x}}{\log{a}}\\
&\log_3{x}=3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Simplificando}\\
&x=3^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Por~definición~}\log_a{x}=n\Longleftrightarrow a^x=n \\
&x=27~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Simplificando}\end{align}
Para la ecuación b se inicia agrupando en un miembro las variables y en el otro las constantes,
$$\log_2{x^3}-\log_2{x^2}=\log_2{2^3}-\log_2{\frac{1}{32}}.$$
Ahora se observa la propiedad \(\log_a{(u/v)}=\log_a{u}-\log_a{v}\) de donde se reescribe como,
$$\log_2{\left(\frac{x^3}{x^2}\right)}=\log_2{\left(\frac{2^3}{1/32}\right)}$$
Simplificando esta expresión
$$\log_2{\left(x\right)}=\log_2{\left(\frac{2^3}{1/2^5}\right)}$$
Realizando división de fracciones,
$$\log_2{\left(x\right)}=\log_2{\left(2^3(2^5)\right)}$$
Realizando multiplicaciones,
$$\log_2{\left(x\right)}=\log_2{\left(2^8\right)}$$
Observando la propiedad \(\log_a{x^n}=n\log_a{x}\)
$$\log_2{\left(x\right)}=8\log_2{\left(2\right)}$$
Observando la propiedad \(\log_a{a}=1\)
$$\log_2{\left(x\right)}=8$$
Aplicando la definición \(\log_a{x}=n\Longleftrightarrow a^n=x\) se tiene,
$$x=2^8=256$$
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Escribir la expresión dadas como un solo logaritmo. $$a.~\log{20}+2\log{x}\ \ \ \ \ \ \ \ b~.\ 2\ln{\left(x^2+5\right)}-\ln{\left(5x-3\right)}+\ln{7}+11$$
Cambio de base. Escribir las expresiones como el cociente de logaritmos naturales. $$a.\ \log_2{\left(x^3-13\right)}\ \ \ b.-2\log_5{\left(7x^2-1\right)}$$
Cambio de base. Escribir como un solo logaritmo natural la expresión $$\log{\left(x+5\right)}+\log{\left(3x+7\right)}-\log{x^3}$$